GCN的定义

下面内容参考kipf博客，个人认为是告诉你从直觉上，我们怎么得到GCN图上的定义（而前面的大幅推导是从理论上一步一步来的，也就是说可以用来佐证我们的直觉）

我们的网络输入是\(\mathcal{G}=(\mathcal{V},\mathcal{E})\)：

• 即可以用\(N\times D\)的矩阵\(X\)表示，\(N\)为图上结点个数，\(D\)是每个结点的特征维数
• 同时表示一个图还需要邻接矩阵\(A\)

而一层的输出记作\(Z_{\mathbb{R}^{N \times F}}\)，其中\(N\)还是结点个数，\(F\)为每个结点的特征维数

那么非线性神经网络就可以定义成如下形式：

\[H^{l+1}=f(H^{l}, A) \]

其中\(H^{0}=X\), \(H^{L}=Z\), \(L\) 表示网络的层数，那么模型的关键是如何设计\(f(\cdot )\)

一种简单的形式

\[f(H^{l}, A) = \sigma (AH^{l}W^{l}) \]

其中\(W^{l}\) 是\(l.th\)层的参数矩阵，\(\sigma ()\) 是激活函数。【PS:Despite its simplicity this model is already quite powerful】
仔细观察上式就能发现几个缺陷：

• 其中\(A\)是邻接矩阵，对角线上为\(0\)，导致经过网络中的一层，没有加上自己本结点的信息，所以改造替换成 \(\hat{A} = A+I\)
• 可是\(\hat {A}H\) 则是自己+相邻结点特征总和，还需平均化，所以改成 \(D^{-1}\hat {A}H\)
• 我们还可以更进一步，考虑到上篇说的拉普拉斯算子计算中周围结点总和\(-\)中心点*相邻结点个数，即相当于每个相邻点能量\(-\)中心点能量。类比过来，相邻点给我影响是:(相邻点能量/相邻点本身邻居个数)，所以有\(D^{-1/2}\hat{A}D^{-1/2}\)

\[f(H^{(l+1)}, A) = \sigma\left( D^{-\frac{1}{2}}\hat{A}D^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)}\right) \, \]

这个形式已经和上篇利用谱理论推导处理的结果很相近了

\[\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\theta^{\prime}}} * \boldsymbol{x} = \theta(\boldsymbol{I_n} + \boldsymbol{D}^{-1/2} \boldsymbol{W} \boldsymbol{D}^{-1/2}) \boldsymbol{x} \]

但和最终的结果还不一样，回顾论文给的 renormalization trick：

\[I_{N}+D^{-1/2}AD^{-1/2}=D^{-1/2}\hat{A}D^{-1/2}\rightarrow \tilde{D}^{-1/2}\hat{A}\tilde{D}^{-1/2}=(D+I_{N})^{-1/2}\hat{A}(D+I_{N})^{-1/2} \]

\[\hat{A}=A+I_{N} \]

\[\tilde{D}_{ii}= \sum_{}^{j}\hat{A}_{ij}=D+I_{N} \]

那么的确可以得到最终形式：

\[f(H^{(l+1)}, A) = \sigma\left(\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}\hat{A}\tilde{D}^{-\frac{1}{2}}H^{(l)}W^{(l)}\right) \, \]