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赛后题解

被神仙 \(LMOliver\) 骗叫来一起做这套题被吊起来打.

毕竟量子计算什么的,只有神仙才会.我太蒻了.

G1. AND oracle

Intention

给你 \(N\) 个量子位,若全为 \(\left|1\right>\) (即逻辑与结果为 \(|1\rangle\)) 则翻转 \(y\) ,否则什么也不做.

Solution

开始被这道题卡了好久.

只知道 X,H,CNOT,CCNOT 四个操作,硬是用这些操作搞出来了.

具体方法就是用分治把原问题分成两边递归求解.

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Solve (x : Qubit[], y : Qubit) : Unit { body (...) { let N = Length(x); if (N == 0) { X(y); } elif (N == 1) { CNOT(x[0], y); } elif (N == 2) { CCNOT(x[0], x[1], y); } else { using (LMO = Qubit()) { using (QY = Qubit()) { let mid = N / 2; Solve(x[0 .. mid - 1], LMO); Solve(x[mid .. N - 1], QY); CCNOT(LMO, QY, y); Solve(x[0 .. mid - 1], LMO); Solve(x[mid .. N - 1], QY); } } } } adjoint auto; }}

然而,题解中只有一行(naive的我并不会Controlled门).

OR oracle

Intention

给你 \(N\) 个量子位,若存在一位为 \(\left|1\right>\) (即逻辑或结果为 \(|1\rangle\)) 则翻转 \(y\) ,否则什么也不做.

有了上一题的基础,这题应该很容易了.

注意到: \(x_1\bigvee x_2\bigvee \cdots\bigvee x_n=\neg(\neg x_1\bigwedge\neg x_2\bigwedge\cdots\bigwedge\neg x_n)\) (De Morgan’s laws)

所以只要先将每一位翻转,再进行第一题的步骤,最后再将结果翻转即可.

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Zyy (x : Qubit[], y : Qubit) : Unit { body (...) { let N = Length(x); if (N == 0) { X(y); } elif (N == 1) { CNOT(x[0], y); } elif (N == 2) { CCNOT(x[0], x[1], y); } else { using (LMO = Qubit()) { using (QY = Qubit()) { let mid = N / 2; Zyy(x[0 .. mid - 1], LMO); Zyy(x[mid .. N - 1], QY); CCNOT(LMO, QY, y); Zyy(x[0 .. mid - 1], LMO); Zyy(x[mid .. N - 1], QY); } } } } adjoint auto; } operation Solve (x : Qubit[], y : Qubit) : Unit { body (...) { let N = Length(x); for (i in 0 .. N - 1) { X(x[i]); } Zyy(x[0 .. N - 1], y); X(y); for (i in 0 .. N - 1) { X(x[i]); } } adjoint auto; }}

然而题解只有两行......

G3. Palindrome checker oracle

Intention

给你 \(N\) 个量子位,判断其是否回文.

Solution

即要验证 \(p:\forall i\in\left[1,n\right],X\left[i\right]=X\left[n-i+1\right]\).

我们发现若 \(x=y\) ,则 \(CNOT\left(x,y\right)=\left|0\right>\) .

所以只要用后半段 CNOT 前半段,再判断是否全为 \(\left|0\right>\) 即可.

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Make (x : Qubit[], y : Qubit) : Unit { body (...) { let N = Length(x); if (N == 0) { X(y); } elif (N == 1) { CNOT(x[0], y); } elif (N == 2) { CCNOT(x[0], x[1], y); } else { using (LMO = Qubit()) { using (QY = Qubit()) { let mid = N / 2; Make(x[0 .. mid - 1], LMO); Make(x[mid .. N - 1], QY); CCNOT(LMO, QY, y); Make(x[0 .. mid - 1], LMO); Make(x[mid .. N - 1], QY); } } } } adjoint auto; } operation Solve (x : Qubit[], y : Qubit) : Unit { body (...) { let N = Length(x); let mid = N / 2; for (i in 0 .. mid - 1) { CNOT(x[N - i - 1], x[i]); } for (i in 0 .. mid - 1) { X(x[i]); } Make(x[0 .. mid - 1], y); for (i in 0 .. mid - 1) { X(x[i]); } for (i in 0 .. mid - 1) { CNOT(x[N - i - 1], x[i]); } } adjoint auto; }}

U1. Anti-diagonal unitary

Intention

要求对 \(N\) 个量子比特进行操作,使得效果与乘了一个对角线均不为 \(0\) 的矩阵等同.

Solution

手模 \(N=2\) 的情况可以发现:
\[ \left|00\right>\mapsto\left|11\right>,\left|10\right>\mapsto\left|01\right>,\left|01\right>\mapsto\left|10\right>,\left|11\right>\mapsto\left|00\right> \]
所以只要翻转每一位就可以啦.

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Solve (qs : Qubit[]) : Unit { for (q in qs) { X(q); } }}

U2. Chessboard unitary

Intention

要求对 \(N\) 个量子比特进行操作,使得效果与乘了一个如下形状的矩阵等同.

XX..XX..XX..XX....XX..XX..XX..XXXX..XX..XX..XX....XX..XX..XX..XX

Solution

手模观察矩阵的性质可以发现,原矩阵的变换相当于第二位不变,其余每一位变为了叠加态.

再取几个数验证(暴露了我手玩的事实):
\[ \left|000\right>\mapsto \frac{1}{2}\left(\left|000\right>+\left|100\right>+\left|001\right>+\left|101\right>\right) \]
\[ \left|111\right>\mapsto \frac{1}{2}\left(\left|010\right>+\left|110\right>+\left|011\right>+\left|111\right>\right) \]

发现糊的结论并没有错误.

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Solve (qs : Qubit[]) : Unit { let N = Length(qs); for (i in 0 .. N - 1) { if (i != 1) { H(qs[i]); } } }}

U3. Block unitary

Intention

要求对 \(N\) 个量子比特进行操作,使得效果与乘了一个如下形状的矩阵等同.

.X..X.....XX..XX

Solution

其实思路很简单.

若最后一位为 \(\left|1\right>\) 则对其余每一位进行 H 操作,否则进行 X 操作.

考试的时候没有做出来.

写了一个假的程序QAQ.

仿佛是对的?

然而一直 \(WA\) \(1\).

\(LMOliver\) 神仙说我的写法会造成量子纠缠 \(QAQ\).

自闭了.

赛后

原来有 Controlled 这种操作.

可以用一个量子位的状态是否为 \(\left|1\right>\) 来控制是否进行操作......

Code

namespace Solution { open Microsoft.Quantum.Primitive; open Microsoft.Quantum.Canon; operation Solve (qs : Qubit[]) : Unit { let N = Length(qs); for (i in 0 .. N - 2) { Controlled H(qs[N - 1 .. N - 1], qs[i]); X(qs[N - 1]); Controlled X(qs[N - 1 .. N - 1], qs[i]); X(qs[N - 1]); } }}

后记

\(\%\%\%LMOliver\) 神仙.

果然我还是太蒻了啊

弃坑了.