多路查找树

一、二叉树与B树

1,二叉树的问题分析

  二叉树需要加载到内存的,如果二叉树的节点少,没有什么问题,但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿), 就存在如下问题:

        多路查找树

  • 问题 1:在构建二叉树时,需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中),节点海量,构建二叉树时,速度有影响
  • 问题 2:节点海量,也会造成二叉树的高度很大,会降低操作速度。

2,多叉树

  • 在二叉树中,每个节点有数据项,最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点,就是多叉树(multiway tree)
  • 2-3 树,2-3-4 树就是多叉树,多叉树通过重新组织节点,减少树的高度,能对二叉树进行优化。

       多路查找树

3,B树的基本介绍

  B 树通过重新组织节点,降低树的高度,并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

     多路查找树

  • 如图 B 树通过重新组织节点, 降低了树的高度.
  • 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理,将一个节点的大小设为等于一个页(页的大小通常为 4k),这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
  • 树的度 M 设置为 1024(每个节点的子节点的个数就称为该节点的度(degree)),在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。

二、2-3树

1,2-3树的特点:

  • 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
  • 有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点
  • 有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点
  • 2-3 树是由二节点和三节点构成的树

2,2-3树应用案例:

  将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树,并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3树的过程)

   多路查找树

插入规则:

1) 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件) 
2) 有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点. 
3) 有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点 
4) 当按照规则插入一个数到某个节点时,不能满足上面三个要求,就需要拆,先向上拆,如果上层满,则拆本层, 拆后仍然需要满足上面 3 个条件。 
5) 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

3,2-3-4树

   多路查找树

三、B树、B+树和B*树

1,B树的介绍

  B-tree 树即 B 树,B 即 Balanced,平衡的意思

 

  多路查找树

说明:

  1. B树的阶:节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3,2-3-4树的阶是4
  2. B树的搜索:从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点
  3. 关键字集合分布在整棵树中,即叶子结点和非叶子节点都存放数据
  4. 搜索有可能在非叶子结点结束
  5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

2,B+树的介绍

  B+树是B树的变体,也是一种多路搜索树

  B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

    多路查找树

说明:

  1. B+树的搜索与B树基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
  2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子结点【也叫稠密索引】),且链表中的关键字(数据)恰好是有序的
  3. B+树非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引)叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;B树的非叶子结点也存储数据(数据信息),这样导致每次加载io的数据量减小
  4. 更适合文件索引系统
  5. B数和B+树各有自己的应用场景,不能说B+树完全比B树好,反之亦然。

3,B*树的介绍

  B*树是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针

  B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟结点也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针; 所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

      多路查找树

 说明:

  1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3,而B+树的快的最低使用率为1/2
  2. B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高
发表评论

评论已关闭。

相关文章