关于 Softmax 回归的反向传播求导数过程

对于 \(Softmax\) 回归的正向传播非常简单,就是对于一个输入 \(X\) 对每一个输入标量 \(x_i\) 进行加权求和得到 \(Z\) 然后对其做概率归一化。

Softmax 示意图

下面看一个简单的示意图:

关于 Softmax 回归的反向传播求导数过程

其中 \(X\in\mathbb{R}^{n\times m}\) 是一个向量或矩阵,这取决于传入的是一个训练样本还是一组训练样本,其中 \(n\) 是输入特征的数量,\(m\) 是传入的训练样本数量;此图只是示意的一个简单的 \(Softmax\) 的传播单元,可以把它理解为一个神经单元,所以 \(W\in\mathbb{R}^{n\times k}\) 可以看成每一个 \(X\) 的特征的权重,\(W\) 是向量还是矩阵同样取决于第二层(图中第一个方框)有多少个神经单元,用 \(k\) 表示第二层的数量,\(b\in\mathbb{R}\) 为偏置(bias)单元。

全连接神经网络

上图只是一个广泛的 \(Softmax\) 的示意图,下面用一个神经网络表示。

关于 Softmax 回归的反向传播求导数过程

上图是更广义的 \(L\) 层全连接神经网络,其中,\(l_1\) 表示第一层的神经元数量,\(l_L\) 表示最后一层,即第 \(L\) 层的神经元数量,根据 \(Softmax\) 模型,假设此神经网络用作 \(C\) 分类的网络,\(l_L\) 的数量也是 \(C\) 的数量;\(\hat{y}\in\mathbb{R}^{C\times m}\) 可以是向量也可以是矩阵,同样取决于是否对一组输入进行了 矢量化(vectorization) ,表示每一个样本的预测概率;最后将 \(\hat{y}\) 传入损失函数 \(\ell(y,\hat{y})\) 对其计算损失,公式如下:

\[\ell(y,\hat{y})=-\sum_{i=1}^Cy_i\ln{\hat{y}_i} \]

最后,定义该网络一组训练样本的 \(cost\) 损失函数:

\[J(W,b)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\ell(y^{(i)},\hat{y}^{(i)}) \]

反向传播求导推理

下面对神经网络进行反向传播的求导推导。

首先,神经网络前向传播的最后一个操作是计算单个样本上的损失度 \(\ell(y,\hat{y})\) 所以首先计算 \(\frac{\partial\ell}{\partial\hat{y}}\) 由于神经网络的最后一层 \(a^{[L]}\) 就是 \(\hat{y}\) 的预测输出,所以就是对 \(a^{[L]}\) 求导:

\[\begin{split} \frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}&=\frac{\partial}{\partial a^{[L]}}\left(-\sum_{i=1}^Cy_i\ln{\hat{y}_i}\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial a^{[L]}}\left(-(y_1\ln{\hat{y}_1}+y_2\ln{\hat{y}_2}+\dots+y_C\ln{\hat{y}_C})\right)\\ &=\frac{\partial}{\partial a^{[L]}}\left(-(y_1\ln{a^{[L]}_1}+y_2\ln{a^{[L]}_2}+\dots+y_C\ln{a^{[L]}_C})\right) \end{split} \]

可以从公式中看到,\(a^{[L]}\in\mathbb{R}^{C\times 1}\) 是一个向量,而 \(\ell\in\mathbb{R}\) 则为一个标量,根据 标量对向量 求导的法则,可以得到:

\[\begin{split} \frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}&=\frac{\partial}{\partial a^{[L]}}\left(-(y_1\ln{a^{[L]}_1}+y_2\ln{a^{[L]}_2}+\dots+y_C\ln{a^{[L]}_C})\right)\\ &=\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial a^{[L]}_1}\left(-(y_1\ln{a^{[L]}_1}+y_2\ln{a^{[L]}_2}+\dots+y_C\ln{a^{[L]}_C})\right)& \frac{\partial}{\partial a^{[L]}_2}\left(-(y_1\ln{a^{[L]}_1}+y_2\ln{a^{[L]}_2}+\dots+y_C\ln{a^{[L]}_C})\right)& \dots& \frac{\partial}{\partial a^{[L]}_C}\left(-(y_1\ln{a^{[L]}_1}+y_2\ln{a^{[L]}_2}+\dots+y_C\ln{a^{[L]}_C})\right) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -\frac{y_1}{a^{[L]}_1}& -\frac{y_2}{a^{[L]}_2}& \dots& -\frac{y_C}{a^{[L]}_C}& \end{bmatrix}\\ &=-\frac{y}{a^{[L]}}\\ &=-\frac{y}{\hat{y}} \end{split} \]

得到 \(\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\) 后,下面就继续对 \(\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}\) 求偏导,因为 \(a\) 是关于 \(z\) 的函数,所以使用链式求导法则 \(\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}=\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\) 下面计算 \(\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\) 又因为 \(a^{[L]},z^{[L]}\in\mathbb{R}^{C\times 1}\) 都是相同维度的向量,所以根据 向量对向量 求导的法则,可以得到:

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}&=\begin{bmatrix} \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_1}& \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_2}& \dots& \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_C} \end{bmatrix} \end{split} \]

可以观察上式子中,\(z^{[L]}_i\in\mathbb{R}\) 是一个标量,\(a^{[L]}\) 为向量,所以使用 向量对向量 的求导法则:

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}&=\begin{bmatrix} \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_1}& \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_2}& \dots& \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}_C} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_1}\left(\frac{e^{z^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}} \right)& \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_2}\left(\frac{e^{z^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}} \right)& \dots& \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_C}\left(\frac{e^{z^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}} \right) \end{bmatrix} \end{split} \]

我们拿出来第一个元素 \(\frac{\partial}{\partial z_1^{[L]}}\left(\frac{e_z^{[L]}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}}\right)\) 对其研究,发现是 向量对标量 求导,我们将其展开:

\[\begin{split} \frac{\partial}{\partial z_1^{[L]}}\left(\frac{e^{z^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}}\right)&=\begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_1}\left(\frac{e^{z_1^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}}\right)& \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_1}\left(\frac{e^{z_2^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}}\right)& \dots& \frac{\partial}{\partial z^{[L]}_1}\left(\frac{e^{z_C^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z^{[L]}_i}}\right)& \end{bmatrix} \end{split} \]

我们可以从这个式子中发现一个规律,在对 \(\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\) 求导的展开式中,每一项都会有一个分母项 \(z_i^{[L]}\) 和分子的向量中的一个元素 \(e^{z_i^{[L]}}\) 相对应,分子中的其它项 \(e^{z_j^{[L]}}\) 就与之不对应;

比如在第一个元素 \(\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_1}\) 中,\(a\)\(z\) 的下标都相同,所以可以得到:

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z_1^{[L]}} &=\frac{\partial}{\partial z_1^{[L]}}\left(\frac{e^{z_1^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}}\right)\\ &=\frac{(e^{z_1^{[L]}})'\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}-e^{z_1^{[L]}}(e^{z_1^{[L]}}+e^{z_2^{[L]}}+\dots+e^{z_C^{[L]}})'}{\left(\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}\right)^2}\\ &=\frac{e^{z_1^{[L]}}\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}-e^{z_1^{[L]}}e^{z_1^{[L]}}}{\left(\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}\right)^2}\\ &=\frac{e^{z_1^{[L]}}\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}}{(\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}})^2}-\frac{e^{z_1^{[L]}}e^{z_1^{[L]}}}{(\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}})^2}\\ &=\frac{e^{z_1^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}}-\frac{e^{z_1^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}}\frac{e^{z_1^{[L]}}}{\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}}\\ &=a^{[L]}_1(1-a^{[L]}_1) \end{split} \]

我们可以将其对推广到其它的求导式子中,即当 \(i=j\) 时,我们可以得到:

\[\frac{\partial e^{z^{[L]}_i}}{\partial z^{[L]}_j}=a^{[L]}_i(1-a^{[L]}_i) \]

如果,当 \(i\neq j\) 时,我们得到(由于使用的 \(i,j\) 作为下标,故将分母的 \(\Sigma\) 累加和的下标使用 \(k\) 替换):

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z_j^{[L]}} &=\frac{\partial}{\partial z_j^{[L]}}\left(\frac{e^{z_i^{[L]}}}{\sum_{k=1}^Ce^{z_k^{[L]}}}\right)\\ &=\frac{(e^{z_i^{[L]}})'\sum_{k=1}^Ce^{z_k^{[L]}}-e^{z_i^{[L]}}(e^{z_1^{[L]}}+e^{z_2^{[L]}}+\dots+e^{z_C^{[L]}})'}{\left(\sum_{k=1}^Ce^{z_k^{[L]}}\right)^2}\\ &=\frac{0\sum_{i=1}^Ce^{z_i^{[L]}}-e^{z_i^{[L]}}e^{z_j^{[L]}}}{\left(\sum_{k=1}^Ce^{z_k^{[L]}}\right)^2}\\ &=\frac{-e^{[L]}_ie^{[L]}_j}{(\sum_{k=1}^Ce^{[L]}_k)^2}\\ &=-\frac{e^{[L]}_i}{\sum_{k=1}^Ce^{[L]}_k}\frac{e^{[L]}_j}{\sum_{k=1}^Ce^{[L]}_k}\\ &=-a_ia_j \end{split} \]

然后我们写出 \(\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\)雅可比矩阵(jacobian matrix)

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}&=\begin{bmatrix} \frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_C}\\ \frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_C}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}C} \end{bmatrix}\\ \end{split} \]

我们发现除了对角线上即 \(i=j\) 时的求导为 \(a_i(1-a_j)\) 而矩阵的其它元素即 \(i\neq j\) 时求导为 \(-a_ia_j\)

至此,我们求出来了 \(\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\)\(\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\) 所以下面我们就开始计算 \(\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}\) 的导数:

\[\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}=\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}} \]

首先我们先看第一项,在上面我们已经求出了 \(\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\) 的导数即 \(-\frac{y}{a^{[L]}}\) 首先我们从分子和分母中可以看到 \(y,a^{[L]}\in\mathbb{R}^{1\times C}\) 两个都是一个 \(1\times C\) 的向量,所以可以得到 \(\frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\) 也是一个 \(1\times C\) 向量;而式子的第二项我们刚刚求出了其 雅可比矩阵 \(\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}\in\mathbb{R}^{C\times C}\) 是一个 \(C\times C\) 的矩阵,而在对 \(\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}\) 将向量和矩阵相乘,所以我们得到了一个 \(1\times C\) 的向量:

\[\begin{split} \frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}&= \begin{bmatrix} -\frac{y_1}{a^{[L]}_1}&-\frac{y_2}{a^{[L]}_2}&\dots&-\frac{y_C}{a^{[L]}_C} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_C}\\ \frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_C}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_1}&\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_2}&\dots&\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}C} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -\frac{y_1}{a^{[L]}_1}\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_1}-\frac{y_2}{a^{[L]}_2}\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_1}-\dots-\frac{y_C}{a^{[L]}_C}\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_1}\\ -\frac{y_1}{a^{[L]}_1}\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_2}-\frac{y_2}{a^{[L]}_2}\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_2}-\dots-\frac{y_C}{a^{[L]}_C}\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_2}\\ \vdots\\ -\frac{y_1}{a^{[L]}_1}\frac{\partial a^{[L]}_1}{\partial z^{[L]}_C}-\frac{y_2}{a^{[L]}_2}\frac{\partial a^{[L]}_2}{\partial z^{[L]}_C}-\dots-\frac{y_C}{a^{[L]}_C}\frac{\partial a^{[L]}_C}{\partial z^{[L]}_C}\\ \end{bmatrix}^T\\ &=\begin{bmatrix} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_1}& -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_2}& \dots& -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_C} \end{bmatrix} \end{split} \]

注意第二行得到的结果应该是一个 \(1\times C\) 的向量,由于排版所以将其转置成 \(C\times 1\) 的向量,不过这毫不影响推导。

所以,根据式子的最后一步,我们可以得到,对于 \(a^{[L]}\) 上的所有元素 \(a^{[L]}_j\) 我们可以得到一个更统一化的式子:

\[\begin{split} \frac{\partial\ell}{\partial a^{[L]}}\frac{\partial a^{[L]}}{\partial z^{[L]}}&=\begin{bmatrix} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial a^{[L]}_1}& -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial a^{[L]}_2}& \dots& -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial a^{[L]}_C} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial a^{[L]}_j} \end{bmatrix},j=[1,2,\dots,C]\\ \end{split} \]

我们观察式子的最后一项关于 \(\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_j}\) 我们在上面求出了其导数有两种情况:

\[\begin{split} \frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_j}=\left\{\begin{matrix} a_i(1-a_j)&&i=j\\ -a_ia_j&&i\neq j \end{matrix}\right. \end{split} \]

我们将这个结果带回到上面的式子中:

\[\begin{split} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_j}&= \left\{\begin{matrix} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}a^{[L]}_i(1-a^{[L]}_j)&&i=j\\ \sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}a^{[L]}_ia^{[L]}_j&&i\neq j \end{matrix}\right.\\ &= \left\{\begin{matrix} -\sum_{i=1}^Cy_i(1-a^{[L]}_j)&&i=j\\ \sum_{i=1}^Cy_ia^{[L]}_j&&i\neq j \end{matrix}\right.\\ &= \left\{\begin{matrix} \sum_{i=1}^Cy_ia^{[L]}_j-y_i&&i=j\\ \sum_{i=1}^Cy_ia^{[L]}_j&&i\neq j \end{matrix}\right. \end{split} \]

注意虽然最后把式子推导成为两个部分,但是最原始的式子就是要把每一项 \(i\)\(j\) 全部加起来,不过就是因为要区别对待 \(i,j\) 相不相等的情况,这里当 \(i=j\) 时只有一项,所以可以将前面的 \(\sum\) 符号去掉,然后把后面的 \(i\neq j\) 的项加起来,我们可以得到:

\[\begin{split} -\sum_{i=1}^C\frac{y_i}{a^{[L]}_i}\frac{\partial a^{[L]}_i}{\partial z^{[L]}_j}&= {\color{red}{-y_j+y_ja^{[L]}_j}}+{\color{green}{\sum_{i\in{\{i|i\neq j\}}}y_ia^{[L]}_j}}\\ &=-y_j+{\color{blue}{y_ja^{[L]}_j+\sum_{i\in{\{i|i\neq j\}}}y_ia^{[L]}_j}}\\ &=-y_j+{\color{orange}{\sum_{i=1}^Cy_ia^{[L]}_j}}\\ &=-y_j+a^{[L]}_j\sum_{i=1}^Cy_i\\ &=a^{[L]}_i-y_j\\ &=a^{[L]}-y \end{split} \]

首先说明一下式子的第一行,红色的部分是 \(i=j\) 的情况,只有一项,所以不需要用 \(\sum\) 符号表示,绿色部分是当 \(i\neq j\) 的情况;

在第二行中,我们可以看到,在整个蓝色的式子中,第一项是 \(i=j\) 的情况,而后面是 \(i\neq j\) 的所有项加起来,我们可以发现第一项的 \(y_j\) 正好补充了后面的 \(\sum\) 求和的部分,所以将这两项合并就到了 \(\sum_{i=1}^C\) 的项;

因为下标是 \(i\) 索引的,所以将常数项 \(a^{[L]}_j\) 提到前面来;此时观察后面的 \(\sum_{i=1}^Cy_i\) 项,根据 \(Softmax\) 多分类的情况,\(y\) 是由一个 \(1\) 和其它全 \(0\) 组成的,所以对 \(y\) 进行累加和,我们得到的是 \(1\)

最后,整理下式子,我们就能得到 \(\frac{\partial\ell}{\partial z^{[L]}}\) 的导数为 \(a^{[L]}-y\)

总结

\(Softmax\) 回归的激活部分,和使用 \(Sigmoid/ReLu\) 作为激活函数是有所不同的,因为在 \(Sigmoid/ReLu\) 中,每一个神经元计算得到 \(z\) 后不需要将其它神经元的 \(z\) 全部累加起来做概率的 归一化 ;也就是说以往的 \(Sigmoid/ReLu\) 作为激活函数,每一个神经元由 \(z\) 计算 \(a\) 时是独立于其它的神经元的;所以在反向传播求导数的时候,我们就能发现当计算 \(\frac{\partial a}{\partial z}\) 的时候,不再是单独的一一对应的关系,而是像正向传播那样,将上一层的结果全部集成到每一个神经元上,下面的图中,红色箭头表示了 \(Softmax\)\(Sigmoid/ReLu\) 的反向传播的路径的有所不同。

关于 Softmax 回归的反向传播求导数过程

在上图中, \(Softmax\) 层的激活的反向传播,可以看到每一个 \(a^{[L]}_i\) 都回馈到了不同的 \(z^{[L]}_j\) 的神经元上;其中红色的线表示了 \(i=j\) 的情况,其它蓝色的线表明了 \(i\neq j\) 的情况,这也说明了为什么在 \(Softmax\) 里的求导中会出现两种情况;反观第一层中的 \(Sigmoid/ReLu\) 激活中,每一个对 \(z^{[1]}_i\) 的激活都是在本地的神经元中得到的,没有其它神经单元传入的情况,所以也没有复杂的分下标 \(i,j\) 讨论求导的情况。

参考博客

  1. https://www.cnblogs.com/zhaopAC/p/9539118.html
  2. https://blog.csdn.net/xxuffei/article/details/90022008
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