BF,BM,KMP,就这?

BF,BM,KMP,就这?
如果文中视频不可以播放,大家可以去查看原文。

为保证代码严谨性,文中所有代码均在 leetcode 刷题网站 AC ,大家可以放心食用。

皇上生辰之际,举国同庆,袁记菜馆作为天下第一饭店,所以被选为这次庆典的菜品供应方,这次庆典对于袁记菜馆是一项前所未有的挑战,毕竟是第一次给皇上庆祝生辰,稍有不慎就是掉脑袋的大罪,整个袁记菜馆内都在紧张的布置着。此时突然有一个店小二慌慌张张跑到袁厨面前汇报,到底发生了什么事,让店小二如此慌张呢?

袁记菜馆内

店小二:不好了不好了,掌柜的,出大事了。

袁厨:发生什么事了,慢慢说,如此慌张,成何体统。(开店开久了,架子出来了哈)

店小二:皇上按照咱们菜单点了 666 道菜,但是咱们做西湖醋鱼的师傅请假回家结婚了,不知道皇上有没有点这道菜,如果点了这道菜,咱们做不出来,那咱们店可就完了啊。

(袁厨听了之后,吓得一屁股坐地上了,缓了半天说道)

袁厨:别说那么多了,快给我找找皇上点的菜里面,有没有这道菜!

找了很久,并且核对了很多遍,最后确认皇上没有点这道菜。菜馆内的人都松了一口气

通过上面的一个例子,让我们简单了解了字符串匹配。

字符串匹配:设 S 和 T 是给定的两个串,在主串 S 中找到模式串 T 的过程称为字符串匹配,如果在主串 S 中找到 模式串 T ,则称匹配成功,函数返回 T 在 S 中首次出现的位置,否则匹配不成功,返回 -1。

例:

BF,BM,KMP,就这?

在上图中,我们试图找到模式 T = baab,在主串 S = abcabaabcabac 中第一次出现的位置,即为红色阴影部分, T 第一次在 S 中出现的位置下标为 4 ( 字符串的首位下标是 0 ),所以返回 4。如果模式串 T 没有在主串 S 中出现,则返回 -1。

解决上面问题的算法我们称之为字符串匹配算法,今天我们来介绍三种字符串匹配算法,大家记得打卡呀,说不准面试的时候就问到啦。

BF算法(Brute Force)

这个算法很容易理解,就是我们将模式串和主串进行比较,一致时则继续比较下一字符,直到比较完整个模式串。不一致时则将模式串后移一位,重新从模式串的首位开始对比,重复刚才的步骤下面我们看下这个方法的动图解析,看完肯定一下就能搞懂啦。

因为不

通过上面的代码是不是一下就将这个算法搞懂啦,下面我们用这个算法来解决下面这个经典题目吧。

leetcdoe 28. 实现 strStr()

题目描述

给定一个 haystack 字符串和一个 needle 字符串,在 haystack 字符串中找出 needle 字符串出现的第一个位置 (从0开始)。如果不存在,则返回 -1。

示例 1:

输入: haystack = "hello", needle = "ll"
输出: 2

示例 2:

输入: haystack = "aaaaa", needle = "bba"
输出: -1

题目解析

其实这个题目很容易理解,但是我们需要注意的是一下几点,比如我们的模式串为 0 时,应该返回什么,我们的模式串长度大于主串长度时,应该返回什么,也是我们需要注意的地方。下面我们来看一下题目代码吧。

题目代码

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        int haylen = haystack.length();
        int needlen = needle.length(); 
        //特殊情况
        if (haylen < needlen) {
            return -1;
        }
        if (needlen == 0) {
            return 0;
        }
        //主串
        for (int i = 0; i < haylen - needlen + 1; ++i) {
            int j;
            //模式串
            for (j = 0; j < needlen; j++) {
                //不符合的情况,直接跳出,主串指针后移一位
                if (haystack.charAt(i+j) != needle.charAt(j)) {
                    break;
                }
            }
            //匹配成功
            if (j == needlen) {
                return i;
            } 

        }
        return -1;
    }
}

我们看一下BF算法的另一种算法(显示回退),其实原理一样,就是对代码进行了一下修改,只要是看完咱们的动图,这个也能够一下就能看懂,大家可以结合下面代码中的注释和动图进行理解。

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        //i代表主串指针,j模式串
        int i,j;
        //主串长度和模式串长度
        int halen = haystack.length();
        int nelen = needle.length();
        //循环条件,这里只有 i 增长
        for (i = 0 , j = 0; i < halen && j < nelen; ++i) {
            //相同时,则移动 j 指针
            if (haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)) {
                ++j;
            } else {
                //不匹配时,将 j 重新指向模式串的头部,将 i 本次匹配的开始位置的下一字符
                i -= j;
                j = 0;
            }
        }
        //查询成功时返回索引,查询失败时返回 -1;
        int renum = j == nelen ? i - nelen : -1;
        return renum;

    }
}

BM算法(Boyer-Moore)

我们刚才说过了 BF 算法,但是 BF 算法是有缺陷的,比如我们下面这种情况

BF,BM,KMP,就这?

如上图所示,如果我们利用 BF 算法,遇到不匹配字符时,每次右移一位模式串,再重新从头进行匹配,我们观察一下,我们的模式串 abcdex 中每个字符都不一样,但是我们第一次进行字符串匹配时,abcde 都匹配成功,到 x 时失败,又因为模式串每位都不相同,所以我们不需要再每次右移一位,再重新比较,我们可以直接跳过某些步骤。如下图

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我们可以跳过其中某些步骤,直接到下面这个步骤。那我们是依据什么原则呢?

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坏字符规则

我们之前的 BF 算法是从前往后进行比较 ,BM 算法是从后往前进行比较,我们来看一下具体过程,我们还是利用上面的例子。

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BM 算法是从后往前进行比较,此时我们发现比较的第一个字符就不匹配,我们将主串这个字符称之为坏字符,也就是 f ,我们发现坏字符之后,模式串 T 中查找是否含有该字符(f),我们发现并不存在 f,此时我们只需将模式串右移到坏字符的后面一位即可。如下图

BF,BM,KMP,就这?

那我们在模式串中找到坏字符该怎么办呢?

BF,BM,KMP,就这?

此时我们的坏字符为 f ,我们在模式串中,查找发现含有坏字符 f,我们则需要移动模式串 T ,将模式串中的 f 和坏字符对齐。见下图。

BF,BM,KMP,就这?

然后我们继续从右往左进行比较,发现 d 为坏字符,则需要将模式串中的 d 和坏字符对齐。

BF,BM,KMP,就这?

BF,BM,KMP,就这?

那么我们在来思考一下这种情况,那就是模式串中含有多个坏字符怎么办呢?

BF,BM,KMP,就这?

那么我们为什么要让最靠右的对应元素与坏字符匹配呢?如果上面的例子我们没有按照这条规则看下会产生什么问题。

BF,BM,KMP,就这?

如果没有按照我们上述规则,则会漏掉我们的真正匹配。我们的主串中是含有 babac 的,但是却没有匹配成功,所以应该遵守最靠右的对应字符与坏字符相对的规则。

我们上面一共介绍了三种移动情况,分别是下方的模式串中没有发现与坏字符对应的字符,发现一个对应字符,发现两个。这三种情况我们分别移动不同的位数,那我们是根据依据什么来决定移动位数的呢?下面我们给图中的字符加上下标。见下图

BF,BM,KMP,就这?

下面我们来考虑一下这种情况。

BF,BM,KMP,就这?

此时这种情况肯定是不行的,不往右移动,甚至还有可能左移,那么我们有没有什么办法解决这个问题呢?继续往下看吧。

好后缀规则

好后缀其实也很容易理解,我们之前说过 BM 算法是从右往左进行比较,下面我们来看下面这个例子。

BF,BM,KMP,就这?

这里如果我们按照坏字符进行移动是不合理的,这时我们可以使用好后缀规则,那么什么是好后缀呢?

BM 算法是从右往左进行比较,发现坏字符的时候此时 cac 已经匹配成功,在红色阴影处发现坏字符。此时已经匹配成功的 cac 则为我们的好后缀,此时我们拿它在模式串中查找,如果找到了另一个和好后缀相匹配的串,那我们就将另一个和好后缀相匹配的串 ,滑到和好后缀对齐的位置。

是不是感觉有点拗口,没关系,我们看下图,红色代表坏字符,绿色代表好后缀

BF,BM,KMP,就这?

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上面那种情况搞懂了,但是我们思考一下下面这种情况

BF,BM,KMP,就这?

上面我们说到了,如果在模式串的头部没有发现好后缀,发现好后缀的子串也可以。但是为什么要强调这个头部呢?

我们下面来看一下这种情况

BF,BM,KMP,就这?

但是当我们在头部发现好后缀的子串时,是什么情况呢?

BF,BM,KMP,就这?

下面我们通过动图来看一下某一例子的具体的执行过程

视频

说到这里,坏字符和好后缀规则就算说完了,坏字符很容易理解,我们对好后缀总结一下

1.如果模式串含有好后缀,无论是中间还是头部可以按照规则进行移动。如果好后缀在模式串中出现多次,则以最右侧的好后缀为基准。

2.如果模式串头部含有好后缀子串则可以按照规则进行移动,中间部分含有好后缀子串则不可以。

3.如果在模式串尾部就出现不匹配的情况,即不存在好后缀时,则根据坏字符进行移动,这里有的文章没有提到,是个需要特别注意的地方,我是在这个论文里找到答案的,感兴趣的同学可以看下。

Boyer R S,Moore J S. A fast string searching algorithm[J]. Communications of the ACM,1977,10: 762-772.

之前我们刚开始说坏字符的时候,是不是有可能会出现负值的情况,即往左移动的情况,所以我们为了解决这个问题,我们可以分别计算好后缀和坏字符往后滑动的位数(好后缀不为 0 的情况),然后取两个数中最大的,作为模式串往后滑动的位数。

BF,BM,KMP,就这?

这破图画起来是真费劲啊。下面我们来看一下算法代码,代码有点长,我都标上了注释也在网站上 AC 了,如果各位感兴趣可以看一下,不感兴趣理解坏字符和好后缀规则即可。可以直接跳到 KMP 部分

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        char[] hay = haystack.toCharArray();
        char[] need = needle.toCharArray();
        int haylen = haystack.length();
        int needlen = need.length;
        return bm(hay,haylen,need,needlen);
    }
    //用来求坏字符情况下移动位数
    private static void badChar(char[] b, int m, int[] bc) {
        //初始化
        for (int i = 0; i < 256; ++i) {
            bc[i] = -1;
        }
        //m 代表模式串的长度,如果有两个 a,则后面那个会覆盖前面那个
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int ascii = (int)b[i];
            bc[ascii] = i;//下标
        }
    }
    //用来求好后缀条件下的移动位数
    private static void goodSuffix (char[] b, int m, int[] suffix,boolean[] prefix) {
        //初始化
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            suffix[i] = -1;
            prefix[i] = false;
        }
        for (int i = 0; i < m - 1; ++i) {
            int j = i;
            int k = 0;
            while (j >= 0 && b[j] == b[m-1-k]) {
                --j;
                ++k;
                suffix[k] = j + 1;
            }
            if (j == -1) prefix[k] = true;
        }
    }
    public static int bm (char[] a, int n, char[] b, int m) {

        int[] bc = new int[256];//创建一个数组用来保存最右边字符的下标
        badChar(b,m,bc);
        //用来保存各种长度好后缀的最右位置的数组
        int[] suffix_index = new int[m];
        //判断是否是头部,如果是头部则true
        boolean[] ispre = new boolean[m];
        goodSuffix(b,m,suffix_index,ispre);
        int i = 0;//第一个匹配字符
        //注意结束条件
        while (i <= n-m) {
            int j;
            //从后往前匹配,匹配失败,找到坏字符
            for (j = m - 1; j >= 0; --j) {
                if (a[i+j] != b[j]) break;
            }
            //模式串遍历完毕,匹配成功
            if (j < 0) {
                return i;
            }
            //下面为匹配失败时,如何处理
            //求出坏字符规则下移动的位数,就是我们坏字符下标减最右边的下标
            int x = j - bc[(int)a[i+j]];
            int y = 0;
            //好后缀情况,求出好后缀情况下的移动位数,如果不含有好后缀的话,则按照坏字符来
            if (y < m-1 && m - 1 - j > 0) {
                y = move(j, m, suffix_index,ispre);
            }
            //移动
            i = i + Math.max(x,y);

        }
        return -1;
    }
    // j代表坏字符的下标
    private static int move (int j, int m, int[] suffix_index, boolean[] ispre) {
        //好后缀长度
        int k = m - 1 - j;
        //如果含有长度为 k 的好后缀,返回移动位数,
        if (suffix_index[k] != -1) return j - suffix_index[k] + 1;
        //找头部为好后缀子串的最大长度,从长度最大的子串开始
        for (int r = j + 2; r <= m-1; ++r) {
            //如果是头部
            if (ispre[m-r] == true) {
                return r;
            }
        }
        //如果没有发现好后缀匹配的串,或者头部为好后缀子串,则移动到 m 位,也就是匹配串的长度
        return m;
    }
}

我们来理解一下我们代码中用到的两个数组,因为两个规则的移动位数,只与模式串有关,与主串无关,所以我们可以提前求出每种情况的移动情况,保存到数组中。

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KMP算法(Knuth-Morris-Pratt)

我们刚才讲了 BM 算法,虽然不是特别容易理解,但是如果你用心看的话肯定可以看懂的,我们再来看一个新的算法,这个算法是考研时必考的算法。实际上 BM 和 KMP 算法的本质是一样的,你理解了 BM 再来理解 KMP 那就是分分钟的事啦。

我们先来看一个实例

视频

为了让读者更容易理解,我们将指针移动改成了模式串移动,两者相对与主串的移动是一致的,重新比较时都是从指针位置继续比较。

通过上面的实例是不是很快就能理解 KMP 算法的思想了,但是 KMP 的难点不是在这里,不过多思考,认真看理解起来也是很轻松的。

在上面的例子中我们提到了一个名词,最长公共前后缀,这个是什么意思呢?下面我们通过一个较简单的例子进行描述。

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此时我们在红色阴影处匹配失败,绿色为匹配成功部分,则我们观察匹配成功的部分。

我们来看一下匹配成功部分的所有前缀

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我们的最长公共前后缀如下图,则我们需要这样移动

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好啦,看完上面的图,KMP的核心原理已经基本搞定了,但是我们现在的问题是,我们应该怎么才能知道他的最长公共前后缀的长度是多少呢?怎么知道移动多少位呢?

刚才我们在 BM 中说到,我们移动位数跟主串无关,只跟模式串有关,跟我们的 bc,suffix,prefix 数组的值有关,我们通过这些数组就可以知道我们每次移动多少位啦,其实 KMP 也有一个数组,这个数组叫做 next 数组,那么这个 next 数组存的是什么呢?

next 数组存的咱们最长公共前后缀中,前缀的结尾字符下标。是不是感觉有点别扭,我们通过一个例子进行说明。

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我们知道 next 数组之后,我们的 KMP 算法实现起来就很容易啦,另外我们看一下 next 数组到底是干什么用的。

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剩下的就不用说啦,完全一致啦,咱们将上面这个例子,翻译成和咱们开头对应的动画大家看一下。

动画必上岸

下面我们看一下代码,标有详细注释,大家认真看呀。

注:很多教科书的 next 数组表示方式不一致,理解即可

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        //两种特殊情况
        if (needle.length() == 0) {
            return 0;
        }
        if (haystack.length() == 0) {
            return -1;
        }
        // char 数组
        char[] hasyarr = haystack.toCharArray();
        char[] nearr = needle.toCharArray();
        //长度
        int halen = hasyarr.length;
        int nelen = nearr.length;
        //返回下标
        return kmp(hasyarr,halen,nearr,nelen);

    }
    public int kmp (char[] hasyarr, int halen, char[] nearr, int nelen) {
        //获取next 数组
        int[] next = next(nearr,nelen);
        int j = 0;
        for (int i = 0; i < halen; ++i) {
            //发现不匹配的字符,然后根据 next 数组移动指针,移动到最大公共前后缀的,
            //前缀的后一位,和咱们移动模式串的含义相同
            while (j > 0 && hasyarr[i] != nearr[j]) {
                j = next[j - 1] + 1;
                //超出长度时,可以直接返回不存在
                if (nelen - j + i > halen) {
                    return -1;
                }
            }
            //如果相同就将指针同时后移一下,比较下个字符
            if (hasyarr[i] == nearr[j]) {
                ++j;
            }
            //遍历完整个模式串,返回模式串的起点下标
            if (j == nelen) {
                return i - nelen + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
    //这一块比较难懂,不想看的同学可以忽略,了解大致含义即可,或者自己调试一下,看看运行情况
    //我会每一步都写上注释
    public  int[] next (char[] needle,int len) {
        //定义 next 数组
        int[] next = new int[len];
        // 初始化
        next[0] = -1;
        int k = -1;
        for (int i = 1; i < len; ++i) {
            //我们此时知道了 [0,i-1]的最长前后缀,但是k+1的指向的值和i不相同时,我们则需要回溯
            //因为 next[k]就时用来记录子串的最长公共前后缀的尾坐标(即长度)
            //就要找 k+1前一个元素在next数组里的值,即next[k+1]
            while (k != -1 && needle[k + 1] != needle[i]) {
                k = next[k];
            }
            // 相同情况,就是 k的下一位,和 i 相同时,此时我们已经知道 [0,i-1]的最长前后缀
            //然后 k - 1 又和 i 相同,最长前后缀加1,即可
            if (needle[k+1] == needle[i]) {
                ++k;
            }
            next[i] = k;

        }
        return next;
    }
}

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