小样?别以为你穿了几个马甲就不认得你是二分法!

需要更多算法动图详解,可以微信搜索[袁厨的算法小屋]

今天给大家带来的是二分查找及其变种的总结,大家一定要看到最后呀,用心满满,废话不多说,让导演帮我们把镜头切到袁记菜馆吧!

袁记菜馆内。。。。

店小二:掌柜的,您进货回来了呀,哟!今天您买这鱼挺大呀!

袁厨:那是,这是我今天从咱们江边买的,之前一直去菜市场买,那里的老贵了,你猜猜我今天买的多少钱一条。

店小二:之前的鱼,30个铜板一条,今天的我猜26个铜板。

袁厨:贵了。

店小二:还贵呀!那我猜20个铜板!

袁厨:还是贵了。

店小二:15个铜板。

袁厨:便宜了

店小二:18个铜板

袁厨:恭喜你猜对了

上面的例子就用到了我们的二分查找思想,如果你玩过类似的游戏,那二分查找理解起来肯定很轻松啦,下面我们一起征服二分查找吧!

完全有序

二分查找

二分查找也称折半查找(Binary Search),是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。我们可以从定义可知,运用二分搜索的前提是数组必须是有序的,这里需要注意的是,我们的输入不一定是数组,也可以是数组中某一区间的起始位置和终止位置

通过上面二分查找的定义,我们知道了二分查找算法的作用及要求,那么该算法的具体执行过程是怎样的呢?

下面我们通过一个例子来帮助我们理解。我们需要在 nums 数组中,查询元素 8 的索引

int[ ]  nums = {1,3,4,5,6,8,12,14,16}; target = 8  

(1)我们需要定义两个指针分别指向数组的头部及尾部,这是我们在整个数组中查询的情况,当我们在数组

某一区间进行查询时,可以输入数组,起始位置,终止位置进行查询。

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(2)找出mid,该索引为 mid =(left + right)/ 2,但是这样写有可能溢出,所以我们需要改进一下写成

mid = left +(right - left)/ 2 或者 left + ((right - left ) >> 1) 两者作用是一样的,都是为了找到两指针的中

间索引,使用位运算的速度更快。那么此时的 mid = 0 + (8-0) / 2 = 4

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(3)此时我们的 mid = 4,nums[mid] = 6 < target,那么我们需要移动我们的 left 指针,让left = mid + 1,下次则可以在新的 left 和 right 区间内搜索目标值,下图为移动前和移动后

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(4)我们需要在 left 和 right 之间计算 mid 值,mid = 5 + (8 - 5)/ 2 = 6 然后将 nums[mid] 与 target 继续比较,进而决定下次移动left 指针还是 right 指针,见下图

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(5)我们发现 nums[mid] > target,则需要移动我们的 right 指针, 则 right = mid - 1;则移动过后我们的 left 和 right 会重合,这里是我们的一个重点大家需要注意一下,后面会对此做详细叙述。

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(6)我们需要在 left 和 right 之间继续计算 mid 值,则 mid = 5 +(5 - 5)/ 2 = 5 ,见下图,此时我们将 nums[mid] 和 target 比较,则发现两值相等,返回 mid 即可 ,如果不相等则跳出循环,返回 -1。

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二分查找的执行过程如下

1.从已经排好序的数组或区间中,取出中间位置的元素,将其与我们的目标值进行比较,判断是否相等,如果相等

则返回。

2.如果 nums[mid] 和 target 不相等,则对 nums[mid] 和 target 值进行比较大小,通过比较结果决定是从 mid

的左半部分还是右半部分继续搜索。如果 target > nums[mid] 则右半区间继续进行搜索,即 left = mid + 1; 若

target < nums[mid] 则在左半区间继续进行搜索,即 right = mid -1;

动图解析

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下面我们来看一下二分查找的代码,可以认真思考一下 if 语句的条件,每个都没有简写。

 public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {
        //这里需要注意,循环条件
        while (left <= right) {
            //这里需要注意,计算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }else if (nums[mid] < target) {
                //这里需要注意,移动左指针
                left  = mid + 1;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //这里需要注意,移动右指针
                right = mid - 1;
            }
        }
        //没有找到该元素,返回 -1
        return -1;
    }

二分查找的思路及代码已经理解了,那么我们来看一下实现时容易出错的地方

1.计算 mid 时 ,不能使用 (left + right )/ 2,否则有可能会导致溢出

2.while (left < = right) { } 注意括号内为 left <= right ,而不是 left < right ,我们继续回顾刚才的例子,如果我们设置条件为 left < right 则当我们执行到最后一步时,则我们的 left 和 right 重叠时,则会跳出循环,返回 -1,区间内不存在该元素,但是不是这样的,我们的 left 和 right 此时指向的就是我们的目标元素 ,但是此时 left = right 跳出循环

3.left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。我们思考一下这种情况,见下图,当我们的target 元素为 16 时,然后我们此时 left = 7 ,right = 8,mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7,那如果设置 left = mid 的话,则会进入死循环,mid 值一直为7 。

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下面我们来看一下二分查找的递归写法

public static int binarySearch(int[] nums,int target,int left, int right) {
        
        if (left <= right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[mid] == target) {
                //查找成功
                return  mid;
            }else if (nums[mid] > target) {
                //新的区间,左半区间
                return binarySearch(nums,target,left,mid-1);
            }else if (nums[mid] < target) {
                //新的区间,右半区间
                return binarySearch(nums,target,mid+1,right);
            }
        }
        //不存在返回-1
        return -1;
    }

例题:

题目描述

给定一个排序数组和一个目标值,在数组中找到目标值,并返回其索引。如果目标值不存在于数组中,返回它将会被按顺序插入的位置。

你可以假设数组中无重复元素。

示例 1:

输入: [1,3,5,6], 5
输出: 2

示例 2:

输入: [1,3,5,6], 2
输出: 1

示例 3:

输入: [1,3,5,6], 7
输出: 4

示例 4:

输入: [1,3,5,6], 0
输出: 0

题目解析

这个题目完全就和咱们的二分查找一样,只不过有了一点改写,那就是将咱们的返回值改成了 left,具体实现过程见下图

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class Solution {
    public int searchInsert(int[] nums, int target) {

        int left = 0, right = nums.length-1;
        //注意循环条件
        while (left <= right) {
            //求mid
            int mid = left + ((right - left ) >> 1);
            //查询成功
            if (target == nums[mid]) {
                return mid;
            //右区间    
            } else if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;   
            //左区间               
            } else if (nums[mid] > target) {
                right = mid - 1;
            }
        }
        //返回插入位置
        return left;
    }
}

二分查找变种一

上面我们说了如何使用二分查找在数组或区间里查出特定值的索引位置。但是我们刚才数组里面都没有重复值,查到返回即可,那么我们思考一下下面这种情况

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此时我们数组里含有多个 5 ,我们查询是否含有 5 可以很容易查到,但是我们想获取第一个 5 和 最后一个 5 的位置应该怎么实现呢?哦!我们可以使用遍历,当查询到第一个 5 时,我们设立一个指针进行定位,然后到达最后一个 5 时返回,这样我们就能求的第一个和最后一个五了?因为我们这个文章的主题就是二分查找,我们可不可以用二分查找来实现呢?当然是可以的。

题目描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]。

示例 1:

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出:[3,4]

示例 2:

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出:[-1,-1]

示例 3:

输入:nums = [], target = 0
输出:[-1,-1]

题目解析

这个题目很容易理解,我们在上面说了如何使用遍历解决该题,但是这个题目的目的就是让我们使用二分查找,我们来逐个分析,先找出目标元素的下边界,那么我们如何找到目标元素的下边界呢?

我们来重点分析一下刚才二分查找中的这段代码

  if (nums[mid] == target) {
       return mid;
  }else if (nums[mid] < target) {
      //这里需要注意,移动左指针
      left  = mid + 1;
  }else if (nums[mid] > target) {
      //这里需要注意,移动右指针
      right = mid - 1;
  } 

我们只需在这段代码中修改即可,我们再来剖析一下这块代码,nums[mid] == target 时则返回,nums[mid] < target 时则移动左指针,在右区间进行查找, nums[mid] > target时则移动右指针,在左区间内进行查找。

那么我们思考一下,如果此时我们的 nums[mid] = target ,但是我们不能确定 mid 是否为该目标数的左边界,所以此时我们不可以返回下标。例如下面这种情况。小样?别以为你穿了几个马甲就不认得你是二分法!

此时 mid = 4 ,nums[mid] = 5,但是此时的 mid 指向的并不是第一个 5,所以我们需要继续查找 ,因为我们要找

的是数的下边界,所以我们需要在 mid 的值的左区间继续寻找 5 ,那我们应该怎么做呢?我们只需在

target <= nums[mid] 时,让 right = mid - 1即可,这样我们就可以继续在 mid 的左区间继续找 5 。是不是听着有点绕,我们通过下面这组图进行描述。

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其实原理很简单,就是我们将小于和等于合并在一起处理,当 target <= nums[mid] 时,我们都移动右指针,也就是 right = mid -1,还有一个需要注意的就是,我们计算下边界时最后的返回值为 left ,当上图结束循环时,left = 3,right = 2,返回 left 刚好时我们的下边界。我们来看一下求下边界的具体执行过程。

动图解析

小样?别以为你穿了几个马甲就不认得你是二分法!计算下边界代码

int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //这里需要注意,计算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target <= nums[mid]) {
                //当目标值小于等于nums[mid]时,继续在左区间检索,找到第一个数
                right = mid - 1;

            }else if (target > nums[mid]) {
                //目标值大于nums[mid]时,则在右区间继续检索,找到第一个等于目标值的数
                left = mid + 1;

            }
        }
        return left;
    }

计算上边界时算是和计算上边界时条件相反,

计算下边界时,当 target <= nums[mid] 时,right = mid -1;target > nums[mid] 时,left = mid + 1;

计算上边界时,当 target < nums[mid] 时,right = mid -1; target >= nums[mid] 时 left = mid + 1;刚好和计算下边界时条件相反,返回right。

计算上边界代码

int upperBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //求mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            //移动左指针情况
            if (target >= nums[mid]) {
                 left = mid + 1; 
            //移动右指针情况
            }else if (target < nums[mid]) {
                right = mid - 1;
            }
            
        }
        return left;
    }

题目完整代码

class Solution {
    public int[] searchRange (int[] nums, int target) {
         int upper = upperBound(nums,target);
         int low = lowerBound(nums,target);  
         //不存在情况
         if (upper < low) {
             return new int[]{-1,-1};
         }
         return new int[]{low,upper};
    }
    //计算下边界
    int lowerBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            //这里需要注意,计算mid
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target <= nums[mid]) {
                //当目标值小于等于nums[mid]时,继续在左区间检索,找到第一个数
                right = mid - 1;

            }else if (target > nums[mid]) {
                //目标值大于nums[mid]时,则在右区间继续检索,找到第一个等于目标值的数
                left = mid + 1;

            }
        }
        return left;
    }
    //计算上边界
    int upperBound(int[] nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {          
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (target >= nums[mid]) {
                 left = mid + 1;               
            }else if (target < nums[mid]) {
                right = mid - 1;
            }            
        }
        return right;
    }
}

二分查找变种二

我们在上面的变种中,描述了如何找出目标元素在数组中的上下边界,然后我们下面来看一个新的变种,如何从数组或区间中找出第一个大于或最后一个小于目标元素的数的索引,例 nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} 我们希望找出第一个大于 5的元素的索引,那我们需要返回 4 ,因为 5 的后面为 6,第一个 6 的索引为 4,如果希望找出最后一个小于 6 的元素,那我们则会返回 3 ,因为 6 的前面为 5 最后一个 5 的索引为 3。好啦题目我们已经了解,下面我们先来看一下如何在数组或区间中找出第一个大于目标元素的数吧。

找出第一个大于目标元素的数,大概有以下几种情况

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1.数组包含目标元素,找出在他后面的第一个元素

2.目标元素不在数组中,数组内的部分元素大于它,此时我们需要返回第一个大于他的元素

3.目标元素不在数组中,且数组中的所有元素都大于它,那么我们此时返回数组的第一个元素即可

4.目标元素不在数组中,且数组中的所有元素都小于它,那么我们此时没有查询到,返回 -1 即可。

既然我们已经分析完所有情况,那么这个题目对咱们就没有难度了,下面我们描述一下案例的执行过程

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

上面的例子中,我们需要找出第一个大于 7 的数,那么我们的程序是如何执行的呢?

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上面的例子我们已经弄懂了,那么我们看一下,当 target = 0时,程序应该怎么执行呢?

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OK!我们到这一步就能把这个变种给整的明明白白的了,下面我们看一哈程序代码吧,也是非常简单的。

public static int lowBoundnum(int[] nums,int target,int left, int right) {

        while (left <= right) {
            //求中间值
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            //大于目标值的情况
            if (nums[mid] > target) {
                 //返回 mid
                if (mid == 0 || nums[mid-1] <= target) {
                    return mid;
                }
                else{
                    right = mid -1;
                }

            } else if (nums[mid] <= target){
                left = mid + 1;
            }
        }
        //所有元素都小于目标元素
        return -1;
    }

通过上面的例子我们应该可以完全理解了那个变种,下面我们继续来看以下这种情况,那就是如何找到最后一个小于目标数的元素。还是上面那个例子

nums = {1,3,5,5,6,6,8,9,11} target = 7

查找最后一个小于目标数的元素,比如我们的目标数为 7 ,此时他前面的数为 6,最后一个 6 的索引为 5,此时我们返回 5 即可,如果目标数元素为 12,那么我们最后一个元素为 11,仍小于目标数,那么我们此时返回 8,即可。这个变种其实算是上面变种的相反情况,上面的会了,这个也完全可以搞定了,下面我们看一下代码吧。

public static int upperBoundnum(int[] nums,int target,int left, int right) {

        while (left <= right) {

            int mid = left + ((right - left) >> 1);
             //小于目标值
            if (nums[mid] < target) {
                //看看是不是当前区间的最后一位,如果当前小于,后面一位大于,返回当前值即可
                if (mid == right || nums[mid+1] >= target) {
                    return mid;
                }
                else{
                    left = mid + 1;
                }

            } else if (nums[mid] >= target){
                right = mid - 1;
            }
        }
        //没有查询到的情况
        return -1;
    }

不完全有序

面试前必知必会的二分查找及其变种(下)

之前给大家总结总结了一波二分查找的变种,但是因为变种太多一篇放不下,所以我们在这一篇里继续进行总结,之前我们说二分查找需要在完全有序的数组里使用,那么不完全有序时可以用吗?

例:

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上面的新数组虽然不是完全有序,但是也可以看成是由一个完全有序的数组翻折得到的。或者可以理解成两个有序数组,且第二个数组的最大值小于第一的最小值,我们将其拼接,拼接成了一个不完全有序的数组,在这个数组中我们需要找到 target ,找到后返回其索引,如果没有找到则返回 -1;

我们第一次看到这种题目时,可能会想到,我们只需要挨个遍历就好啦,发现后返回索引即可,这样做当然是可以滴,那么我们可不可以使用二分查找呢?

下面我们看一下解决该题的具体思路。

首先我们设想一下 mid 值会落到哪里,我们一起来想一下。

是不是只有两种情况,和 left 在一个数组,同时落在 数组1 或同时在 数组2,或者不在一个数组, left 在数组1,mid 在数组2。想到这里咱们这个题目已经完成一半了。

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那么我们先来思考一下,?我们可以根据 nums[mid] 和 nums[left] 判断,是因为我们的 mid 一定是会落在 left 和 right 之间,那如果 nums[mid] >= nums[left] 时,说明他俩落在一个数组里了,如果 nums[mid] < nums[left] 时,说明他俩落在了不同的数组,此时left 在数组1 mid在数组2.

注:left 和 mid 落在同一数组时,不能是 left 在 数组2 ,mid 在 数组1 呢?因为咱们的 mid 是通过 left 和 right 的下标求得,所以应该在 left 和 right 中间

如果我们的 mid 和 left 在同一个数组内时?咱们的 target 会有几种情况呢?我们通过都落在 数组1 举例。

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无非也是两种情况,用我们上面的例子来说,

1.落在 mid 的左边,当前例子中 情况是落在 [4,7)区间内,即 4 <= target < 7 ,也就是 target >= nums[left] && target < nums[mid],此时我们让 right = mid -1,让 left 和 right 都落到数组 1 中,下次查找我们就是在数组1中进行了,完全有序,

2.落在 mid 的右边,此时例子中 target 不落在 [4,7)区间内,那就 target = 8 或 0 <= target <= 2 (此时我们的 target 均小于 nums[left]) 两种情况,也就是target > nums[mid] || target < nums[left] 此时我们让 left = mid + 1即可,也是为了慢慢将left 和 right 指针赶到一个有序数组内。

那我们在来思考一下当 mid 值落在 数组2 中时,target 会有几种情况呢?其实和上面的例子思路一致,情况相反而已。

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  1. target <= nums[right] && target > nums[mid]

    这里和上面的对应,此时的情况就是整个落在右半部分,我们下次就可以在数组2内进行查找。

  2. target > nums[right] || target < nums[mid]

    这里就是和上面的第二种情况对应,落在 mid 的左半部分,我们尽量将两个指针赶到一起

希望我的表达能够让大家对这个变种理解透彻,如果没能让各位理解,或者有表达不当的地方欢迎各位批评指导。然后我们一起来做一下 leetcode 33 题吧。

搜索旋转排序数组

题目描述

给你一个整数数组 nums ,和一个整数 target 。

该整数数组原本是按升序排列,但输入时在预先未知的某个点上进行了旋转。(例如,数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。

请你在数组中搜索 target ,如果数组中存在这个目标值,则返回它的索引,否则返回 -1 。

示例 1:

输入:nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出:4

示例 2:

输入:nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出:-1

示例 3:

输入:nums = [1], target = 0
输出:-1

题目解析

这个题目的解答方法,咱们在上面已经有所描述,下面我们来看一下下面这个例子的代码执行过程吧.

输入 nums = [4,5,6,7,8,0,1,2] target = 8

下面我们看题目代码吧,如果还没有完全理解的同学,可以仔细阅读 if ,else if 里面的语句,还有注释,一定可以整透的。

题目代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        //左右指针
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = left+((right-left)>>1);
            if (nums[mid] == target) {
                return mid;
            }
            //落在同一数组的情况,同时落在数组1 或 数组2
            if (nums[mid] >= nums[left]) {
                //target 落在 left 和 mid 之间,则移动我们的right,完全有序的一个区间内查找
                if (nums[mid] > target && target >= nums[left]) {
                       right = mid - 1;
                // target 落在right和 mid 之间,有可能在数组1, 也有可能在数组2
                } else if (target > nums[mid] || target < nums[left]) {
                       left = mid + 1;
                } 
            //不落在同一数组的情况,left 在数组1, mid 落在 数组2
            }else if (nums[mid] < nums[left]) {
                //有序的一段区间,target 在 mid 和 right 之间
                if (nums[mid] < target && target <= nums[right]) {
                    left = mid + 1;
                // 两种情况,target 在left 和 mid 之间
                } else if (target < nums[mid] || target > nums[right]) {
                    right = mid - 1;
                }
            } 
        }
        //没有查找到
        return -1;

    }
}

大家如果整透了这道题目,可以结合的上篇文章和这篇文章,去做一下 leetcode81 题,算是对这个题目的升级。

下面我们来看一下另外一种变体,如何在二维矩阵里使用二分查找呢?

其实这个很简单,只要学会了二分查找,这个完全可以解决,我们先来看一个例子

我们需要从一个二维矩阵中,搜索是否含有元素 7,我们如何使用二分查找呢?其实我们可以完全将二维矩阵想象成一个有序的一维数组,然后用二分,,比如我们的二维矩阵中,共有 9 个元素,那定义我们的 left = 0,right = 9 - 1= 8,是不是和一维数组定义相同,然后我们求我们的 mid 值, mid = left +((right - left) >> 1)此时 mid = 4 ,但是我们的二维矩阵下标最大是,nums[2,2]呀,你这求了一个 4 ,让我们怎么整呀。如果我们理解了二分查找,那么这个题目考察我们的应该是如何将一维数组的下标,变为 二维坐标。其实也很简单,咱们看哈,此时咱们的 mid = 4,咱们的二维矩阵共有 3行, 3列,那我们 mid =4,肯定在第二行,那么这个应该怎么求得呢?

我们可以直接用 (mid/列数),即可,因为我们 mid = 4,4 /3 = 1,说明在 在第二行,那如果 mid = 7 ,7/3=2,在第三行,我们第几行知道了,那么我们如何知道第几列呢?我们可以直接根据 (mid % 列数 )来求得呀,比如我们此时 mid = 7,7%3 = 1,那么在我们一维数组索引为 7 的元素,其处于二维数组的第2列,大家看看下图是不是呀!

小样?别以为你穿了几个马甲就不认得你是二分法!

下面我们来看一下 leetcode 74题,让我们给他整个通透

搜索二维矩阵

题目描述

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中,是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性:

每行中的整数从左到右按升序排列。
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

示例1

输入:matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,50]], target = 3
输出:true

示例2

输入:matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,50]], target = 13
输出:false

示例3

输入:matrix = [], target = 0
输出:false

题目解析

在上面我们已经解释了如何在二维矩阵中进行搜索,这里我们再对其进行一个总结,就是我们凭空想象一个一维数组,这个数组是有二维数组一层一层拼接来的,也是完全有序,然后我们定义两个指针一个指向一维数组头部,一个指向尾部,我们求得 mid 值然后将 mid 变成二维坐标,然后和 target 进行比较,如果大于则移动 left ,如果小于则移动 right 。

题目代码

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
           
           if (matrix.length == 0) {
               return false;
           }
           //行数
           int row = matrix.length;
           //列数
           int col = matrix[0].length;
           int left = 0;
           //行数乘列数 - 1,右指针
           int right = row * col - 1;
           while (left <= right) {
               int mid = left+ ((right-left) >> 1);
               //将一维坐标变为二维坐标
               int rownum = mid / col;
               int colnum = mid % col;
               if (matrix[rownum][colnum] == target) {
                    return true;
               } else if (matrix[rownum][colnum] > target) {
                   right = mid - 1;
               } else if (matrix[rownum][colnum] < target) {
                   left = mid + 1;
               }
           }
           return false;
    }
}

我是袁厨,一个酷爱用动图解算法的年轻人,一个酷爱做饭的程序员,一个想和你一起进步的小老弟。
小样?别以为你穿了几个马甲就不认得你是二分法!

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